Stateczność płaskich układów ramowych, Budownictwo-studia, mechanika ogulna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
______________________________________________________________________________________________ 1
z
k
. Linia ugiħcia prħta speþnia znane z
przedmiotu "wytrzymaþoĻę materiaþw" rwnanie rŇniczkowe:
i
, w
k
,
L
d
4
w
+
2
d
2
w
d
=
0
x
4
2
d
i
EI
k
w ktrym przez w oznaczono funkcjħ przemieszczeı
punktw osi prħta a przez
oraz
wielkoĻci:
k
i
x
L
S L
2
E I
=
=
CaþkĢ oglnĢ tego rwnania jest funkcja
w
()
=
C
1
C
2
+
+
C
3
cos
()
+
C
4
sin
()
Staþe caþkowania C
1
do C
4
wyznacza siħ z warunkw brzegowych
w 0
( ) w
i
=
w 1
( ) w
k
=
dw
d
0
=
i
L
dw
d
1
=
k
L
=
=
Po podstawieniu otrzymuje siħ
L
( )
sin
i

k
( )


()
i

( )
1 cos

C
1
w
i
=
+
( )
2 1 cos


sin
L
( )
1 cos
i
+
k
( )


sin
C
2
=
( )
2 1 cos


sin
L
( )
sin
i

k
( )


()
i

( )
1 cos

C
3
=

( )
2 1 cos


sin
L
L
( )
1 cos
i
+
k
( )


sin
C
4
=

i
( )
2 1 cos


sin
w powyŇszych wzorach przyjħto oznaczenie
w
k
w
i
=

L
(kĢt obrotu ciħciwy prħta)
Przywħzþowe momenty zginajĢce i siþy poprzeczne wyraŇajĢ siħ nastħpujĢcymi wzorami
M
ik
=

d
2
w
d
L
2
0
M
ki
=

d
2
w
d
L
2
1
T
ik
T
ki
=
E I
=

d
3
w
d
L
3
+
2
dw
d
0
2
2
3
=
=
=
WykorzystujĢc warunki brzegowe otrzymuje siħ wzory transformacyjne do metody przemieszczeı
dla prħtw o dowolnym sposobie zamocowania wħzþw.
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Czħstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inŇ.S.Labocha
Mechanika budowli
RozwaŇany jest prħt i-k o staþej sztywnoĻci EI na dþugoĻci L. Prħt Ļciskany jest staþĢ siþĢ osiowĢ S.
Podpory i oraz k prħta doznajĢ przemieszeı w
i
,
E I
E I
2005-02-27
______________________________________________________________________________________________ 2
zzzzzz
1. Prħt utwierdzony w przekrojach
oraz
:
L
i
EI
k
M
ik
=
E J
L
( )
()
i
+
()
k

()
M
i
k
M
ki
=
E J
L
( )
()
i
+
()
k

()
M
ki
k
i
T
ik
T
ki
=
E J
=

L
2
()
i
k
( )
+

()
T
T
ki
ik
2. Prħt utwierdzony w przekroju
oraz swobodnie podparty w przekroju
:
L
i
EI
k
M
ik
=
E J
L
'
()
()
i

M
i
k
M
ki
0
=
i
T
ik
T
ki
=
E J
=

L
2
( )
'
()
i

'
()
T
ik
T
ki
3. Prħt utwierdzony w przekroju
oraz teleskopowo podparty w przekroju
:
L
i
EI
k
M
ik
=
E J
L
( )
''
()
i
+
''
()
k
M
ik
M
ki
M
ki
=
E J
L
( )
''
()
i
+
''
()
k
k
T
ik
T
ki
=
=
0
T
T
ki
ik
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Czħstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inŇ.S.Labocha
Mechanika budowli
i
2005-02-27
 ______________________________________________________________________________________________ 3
4. Prħt utwierdzony w przekroju oraz swobodny w przekroju :
L
i
EI
k
M
ik
=
E J
L
'''
()
i
M
ik
M
ki
0
=
i
T
ik
T
ki
=
=
0
T
ik
W powyŇszych wzorach funkcje parametru
okreĻlone sĢ zaleŇnoĻciami :
()
sin
=
()
cos

()
()
sin
=

2 1 cos
()
2 1 cos
( )

()

sin
()
( )

()

sin
()
()
2
1 cos
=

2 1 cos
()
()
3
=
sin
()
( )

()

sin
()
2 1 cos
( )

()

sin
()
'
()
2
sin
=
()
()
3
cos
=
()
sin
()
cos

()
sin
()
cos

()
''
()
cot
=
()
''
()
sin
=

()
'''
()
=

tan
()
staje siħ liczbĢ
urojonĢ. Funkcje o zespolonym argumencie moŇna przedstawię w nastħpujĢcej postaci:
()
sh
=
()
ch

()
()
sh
=

()
( )
()
()
( )
()
()
sh
sh
2 ch

1

2 ch

1

()
=
()
2
1 ch

()
()
=
()
3

sh
()
( )
()
()
( )
()
()
sh
sh
2 ch

1

2 ch

1

'
()
=
()
2
sh
()
()
=
()
3
ch
()
()
()
()
()
ch
ch

sh

sh
''
()
cth
=
()
''
()
sh
=

()
'''
()
th
=
()
=
S L
2
E I
gdzie
i
=
a S jest w tym wypadku wartoĻciĢ siþy rozciĢgajĢcej.
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Czħstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inŇ.S.Labocha
Mechanika budowli
'
Podane wzory stosujĢ siħ do Ļciskania. W przypadku rozciĢgania argument
'
2005-02-27
______________________________________________________________________________________________ 4
WartoĻci wszystkich powyŇszych funkcji podawane sĢ w licznych podrħcznikach. Obecnie bez
jakiegokolwiek problemu funkcje te moŇna zadeklarowaę w dowolnym programie np. Mathcad,
i wyznaczyę ich wartoĻci dla dowolnego parametru
. Celem naĻwietlenia pewnych wþasnoĻci ich
przebiegu w poniŇszych tablicach zestawiono wartoĻci dla wybranych argumentw
. NaleŇy
szczeglnie zwrcię uwagħ na wielkoĻci odpowiadajĢce
=0 (brak wpþywu siþ osiowych).
Tab.1 Element Ļciskany
'''
(
)
0,00 4,0000 2,0000 6,0000 12,0000 3,0000 3,0000 1,0000 -1,0000 0,0000
0,25 3,9917 2,0021 5,9937 11,9250 2,9875 2,9250 0,9791 -1,0105 -0,0638
0,50 3,9666 2,0084 5,9750 11,6999 2,9496 2,6996 0,9152 -1,0429 -0,2732
0,75 3,9244 2,0191 5,9435 11,3245 2,8856 2,3231 0,8051 -1,1003 -0,6987
1,00 3,8649 2,0344 5,8993 10,7986 2,7940 1,7940 0,6421 -1,1884 -1,5574
1,25 3,7873 2,0547 5,8420 10,1215 2,6725 1,1100 0,4153 -1,3172 -3,7620
1,50 3,6907 2,0806 5,7713 9,2926 2,5178 0,2678 0,1064 -1,5038 -21,1521
1,75 3,5741 2,1127 5,6868 8,3111 2,3253 -0,7372 -0,3170 -1,7785 9,6607
2,00 3,4361 2,1519 5,5880 7,1761 2,0884 -1,9116 -0,9153 -2,1995 4,3701
2,25 3,2748 2,1996 5,4743 5,8862 1,7974 -3,2651 -1,8165 -2,8918 2,7869
2,50 3,0878 2,2572 5,3450 4,4400 1,4379 -4,8121 -3,3466 -4,1773 1,8676
2,75 2,8723 2,3268 5,1991 2,8357 0,9873 -6,5752 -6,6599 -7,2053 1,1355
3,00 2,6242 2,4115 5,0357 1,0713 0,4082 -8,5918 -21,0458 -21,2585 0,4276
3,25 2,3385 2,5148 4,8533 -0,8558 -0,3660 -10,9285 29,8620 30,0383 -0,3537
3,50 2,0083 2,6424 4,6507 -2,9486 -1,4682 -13,7182 9,3437 9,9777 -1,3110
3,75 1,6243 2,8016 4,4259 -5,2107 -3,2079 -17,2704 5,3837 6,5610 -2,6121
4,00 1,1731 3,0037 4,1769 -7,6463 -6,5179 -22,5179 3,4548 5,2854 -4,6313
4,25 0,6353 3,2656 3,9009 -10,2607 -16,1515 -34,2140 2,1183 4,7487 -8,5268
4,50 -0,0191 3,6140 3,5949 -13,0603 683,7877 663,5377 0,9704 4,6034 -20,8680
4,75 -0,8387 4,0934 3,2548 -16,0529 19,1413 -3,4212 -0,1787 4,7534 126,2332
5,00 -1,9087 4,7845 2,8758 -19,2484 10,0844 -14,9156 -1,4791 5,2142 16,9026
'
(
)
'
(
)
''
(
)
''
(
)
Tab.2 Element rozciĢgany
'''
(
)
0,00 4,0000 2,0000 6,0000 12,0000 3,0000 3,0000 1,0000 -1,0000 0,0000
0,25 4,0083 1,9979 6,0062 12,0750 3,0125 3,0750 1,0207 -0,9897 0,0612
0,50 4,0332 1,9917 6,0250 12,2999 3,0496 3,2996 1,0820 -0,9595 0,2311
0,75 4,0745 1,9816 6,0560 12,6746 3,1107 3,6732 1,1808 -0,9121 0,4764
1,00 4,1316 1,9677 6,0993 13,1986 3,1945 4,1945 1,3130 -0,8509 0,7616
1,25 4,2042 1,9503 6,1545 13,8716 3,2995 4,8620 1,4736 -0,7803 1,0604
1,50 4,2916 1,9299 6,2215 14,6929 3,4237 5,6737 1,6572 -0,7045 1,3577
1,75 4,3929 1,9068 6,2998 15,6620 3,5653 6,6278 1,8590 -0,6271 1,6474
2,00 4,5076 1,8815 6,3891 16,7781 3,7222 7,7222 2,0746 -0,5514 1,9281
2,25 4,6345 1,8544 6,4889 18,0403 3,8926 8,9551 2,3006 -0,4796 2,2006
2,50 4,7730 1,8259 6,5989 19,4478 4,0745 10,3245 2,5339 -0,4132 2,4665
2,75 4,9221 1,7965 6,7185 20,9996 4,2664 11,8289 2,7726 -0,3530 2,7276
3,00 5,0809 1,7665 6,8474 22,6947 4,4667 13,4667 3,0149 -0,2995 2,9852
3,25 5,2485 1,7363 6,9849 24,5322 4,6741 15,2366 3,2598 -0,2524 3,2402
3,50 5,4242 1,7063 7,1305 26,5111 4,8875 17,1375 3,5064 -0,2116 3,4936
3,75 5,6073 1,6766 7,2839 28,6303 5,1059 19,1684 3,7542 -0,1765 3,7459
4,00 5,7968 1,6476 7,4444 30,8889 5,3286 21,3286 4,0027 -0,1466 3,9973
4,25 5,9923 1,6193 7,6117 33,2858 5,5547 23,6172 4,2517 -0,1213 4,2483
4,50 6,1931 1,5920 7,7852 35,8203 5,7839 26,0339 4,5011 -0,1000 4,4989
4,75 6,3987 1,5658 7,9644 38,4914 6,0155 28,5780 4,7507 -0,0822 4,7493
5,00 6,6085 1,5406 8,1491 41,2981 6,2493 31,2493 5,0005 -0,0674 4,9995
'
(
)
'
(
)
''
(
)
''
(
)
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Czħstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inŇ.S.Labocha
Mechanika budowli
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2005-02-27
 ______________________________________________________________________________________________ 5
Przykþad 1
Obliczyę wartoĻę podstawowej siþy krytycznej dla ramy nieprzesuwnej przedstawionej na rysunku nr 1.
P
3P
2
4
5
EI=const
1
3
L
L
Rys. 1 Schemat statyczny ramy nieprzesuwnej i numeracja wħzþw
Rama jest ukþadem dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalnym. Niewiadomymi sĢ obroty wħzþw
2 oraz 4. Warunki rwnowagi (rys.2) sprowadzajĢ siħ wiħc do sum momentw w wħzþach 2 i 4 tj.:
M
2
M
24
M
21
=
+
=
0
M
4
M
42
M
45
=
+
+
M
43
=
0
Warunki brzegowe
1
0
=
3
0
=
=
0
M
24
M
42
M
45
2
4
5
M
21
M
43
1
3
Rys. 2 Warunki rwnowagi w wħzþach 2 oraz 4
Zgodnie z zasady metody przemieszczeı momenty przywħzþowe naleŇy wyrazię za pomocĢ
wzorw transformacyjnych. PoniewaŇ rama jest nieprzesuwna dla wszystkich prħtw kĢt
obrotu ciħciwy
=
S
21
L
21
2
E I
=
P 4
E I
L
2
=
2
21
=
S
43
L
43
2
E I
=
3 P
E I
4
L
2
=
3 2
43
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Czħstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inŇ.S.Labocha
Mechanika budowli
jest rwny zeru. Prħtami Ļciskanymi w rozwaŇanej ramie sĢ prħty 2-1 oraz
4-3 i dla nich naleŇy wyznaczyę argumenty zwiĢzane z duŇymi siþami osiowymi:
2005-02-27
[ Pobierz całość w formacie PDF ]