Statyka tarcz, Szkoła, Pollub, SEMESTR II, metody wykład, Metody Wykład

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->ROZDZIAŁ VI.STATYKA TARCZOmawiane w poprzednich rozdziałach konstrukcje i elementy służące do ichmodelowania nie wnosiły poza pewnym uporządkowaniem nic nowego do metody obliczeństatycznych konstrukcji prętowych. Metoda elementów skończonych jest tu jedyniesformalizowanym wariantem metody przemieszczeń. Dzieje się tak z powodu prostotykonstrukcji prętowych. Różniczkowe równania równowagi elementów prętowych(4.16)są natyle proste, że dają się bez trudu scałkować. Ścisłe rozwiązania tych równań mogą byćużywane jako funkcje kształtu elementów. Zupełnie inaczej przedstawia się sytuacja wustrojach powierzchniowych. Cząstkowe równania różniczkowe, opisujące równowagę tychkonstrukcji mają zamknięte rozwiązania tylko dla bardzo prostych zadań. Rozwiązaniauzyskane metodami aproksymacyjnymi (np. przez rozwinięcie w szereg) są żmudne iwymagają sporego nakładu pracy, a efekt końcowy i tak wymaga użycia komputeraw celurozwiązania układu równań i sumowania szeregów. W tej sytuacji metoda numeryczna, którazakłada pewne uproszczenia na etapie tworzenia równań równowagi elementu, okazuje się owiele bardziej efektywna. Dzięki temu metoda elementów skończonych przyniosła tak wieleważnych rezultatów w mechanice ośrodków ciągłych. Doskonale widoczne jest to naprzykładzie najprostszej konstrukcji ciągłej jaką jest tarcza. Tarczę zdefiniować można jakobryłę, której jeden wymiar (grubość) jest dużo mniejszy od dwóch pozostałych, apowierzchnia środkowa (powierzchnie równoległa do obu zewnętrznych powierzchni tarczy)jest płaszczyzną. Taki kształt ma też płyta, tarczę wyróżnia sposób obciążenia, które musidziałać w płaszczyźnie środkowej (Rys.6.1).Rys.6.11116.1.PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I PŁASKI STAN ODKSZTAŁCENIAGdy płaszczyzny boczne tarczy są swobodne a tarcza dostatecznie cienka możnazałożyć, żesz=0,tzx=0,tzy=na całej grubości tarczy. O takiej konstrukcji mówimy, żepanuje w niej płaski stan naprężenia (P.S.N.). Jest to przybliżenie (por. [11], [17]) tym lepszeim cieńsza jest tarcza. W tarczy cienkiej różne od zera mogą być więc tylko składowepokazane na Rys.6.2.Rys.6.2Ze względu na symetrię tensora naprężenia składowe stycznetxyityxsą sobierówne, mamy więc trzy niezależne składowe naprężenia, które zgrupujemyw wektornaprężenia:ésxùê ús=êsyú.êt úëxyû(6.1)Zupełnie przeciwny przypadek konstrukcji o dużej grubości (Rys.6.1) może byćrównież analizowany metodą płaskiego stanu, tym razem jest to płaski stan odkształcenia(P.S.O.). Ponieważ wymiar poprzeczny konstrukcji pokazanej naRys.6.1uniemożliwiadeformację w kierunku prostopadłym do jej przekroju poprzecznego, to cienka warstwawycięta z tej konstrukcji znajduje się w stanie opisanym przez równania:ez=0,gzx=0,gzy=.(6.2)Z równań tych wynika, żesz¹, ale pierwsze równanie pozwala obliczyć składoweszna podstawie dwóch pozostałychskładowych normalnych. Mamy więc równanie:112sz= n sx+ sy,()(6.3)które pozwala ograniczyć ilość poszukiwanych składowych tensora naprężenia do trzechskładowych podanych w równaniu(6.1).Niezależne składowe tensora odkształcenia również zgrupujemy w macierzkolumnową, którą nazwiemy wektorem odkształceń:é exùê úe= êeyú.êg úëxyû(6.4)Między wektoramisieistnieje związek opisywany równaniami konstytutywnymi,których postać zależy od modelu materiału, którym opisujemy konstrukcję. W tej książcezajmiemy się tylko izotropowymi materiałami sprężystymi, a więc podlegającymi prawuHookea, więc równanie konstytutywne możemy zapisać następująco:s=De,(6.5)gdzieDjest kwadratową macierzą zawierającą stałe sprężyste materiału a opisaną w rozdz.I.Dla płaskiego stanu naprężenia (P.S.N.) macierzDma postać(1.13).Płaski stanodkształcenia (P.S.O.) wymaga nieco innej macierzy stałych sprężystych, która jest opisanarównaniem (1.17).6.2.ZWIĄZKI GEOMETRYCZNEDowolny punkt tarczy w czasie deformacji może poruszać się tylko po płaszczyźnie,więc wektor przemieszczenia tego punktuu(x,y)ma dwie składoweéux(x,y)ùu(x,y)= ê.uy(x,y)úëûzwiązki geometryczne [17]:ex=(6.6)Między składowymi wektora przemieszczenia w wektorem odkształcenia zachodzą znane¶uy¶ux¶uy¶ux,ey=+,,gxy=¶y¶y¶x¶x(6.7)które można przedstawić w formie:e=Du(x,y) ,gdzieDjest macierzą operatorów różniczkowych(1.35).(6.8)1136.3.MACIERZ SZTYWNOŚCI ELEMENTU SPRĘŻYSTEGOPodzielmy (zdyskretyzujmy) tarczę na elementy skończone. Omawiać będziemy wtej książce tylko tarczowe elementy trójkątne, takie też elementy wybierzemy w trakciedyskretyzacji (Rys.6.3).Rys.6.3Jak widać, zgodnie z założeniem(6.6)węzły elementu mają dwa stopnie swobody,siły węzłowe również mają po dwie składowe. Lokalny układ współrzędnychxyjest wybranytak, że osie jego są równoległe do osi układu globalnego, nieistotne jest więc rozróżnianieskładowych lokalnych i globalnychwektorów i macierzy.Przemieszczenia i siły węzłowe pogrupujemy teraz w wektory:–przemieszczeń węzłów i elementuéuixùêuúiyéuiù ê úéuixùéujxùéukxùeê ú êujxúui= ê ú,uj= ê ú,uk= ê ú,u= êujú = ê úuëuiyûëujyûëukyûêukú êjyúë û êuúkxê úêukyúë û–(6.9)sił węzłowych i sił elementuéFixùêFúiyéfiù ê úéFixùéFjxùéFkxùeê ú êFjxúfi= ê ú,fj= ê ú,fk= ê ú,f= êfjú = ê ú.FëFiyûëFjyûëFkyûêfkú êjyúë û êFúkxê úê úëFkyû(6.10)114Ponieważ poszukujemy zależności między wektorami sił i przemieszczeń węzłowychelementu, zastosujemyzasadę pracy wirtualnej (por. rozdz.I), która wymaga podania związkumiędzy przemieszczeniami punktów leżących wewnątrz elementu a przemieszczeniamiwęzłów. Godząc się na błędy wynikające z aproksymacji zakładamy, że zależność ta możebyć opisana funkcjamidwóch zmiennych:ux(x,y)=Ni(x,y)uix+Nj(x,y)ujx+Nk(x,y)ukxorazuy(x,y)=Ni(x,y)uiy+Nj(x,y)ujy+Nk(x,y)uky,lub w zwartej macierzowej formie:u(x,y)=Ne(x,y)ue,(6.11)(6.12)gdzieNe(x,y)jest macierzą funkcji kształtu elementu:Ne(x,y)=Ni(x,y)INj(x,y)INk(x,y)I,aNi(x,y),Nj(x,y),Nk(x,y)funkcjami kształtu dla węzłówi, j, k.Założymy teraz najprostszą z możliwych postaci funkcji kształtu dla węzłaiNi(x,y)=ai+bix+ciy,[](6.13)(6.14)gdzieai,bi,ci-są stałymi, które wyznaczymy z warunków zgodnościNi(xi,yi)=1,Ni(xj,yj)=0 ,Ni(xk,yk)=.(6.15)Po podstawieniu tych warunków do równania (6.14) otrzymamyukład równańé1xiêê1xjê1xkëyiù éaiùúê úyjú êbiú =ykú êciúûë ûé1ùê úêú,êúë û(6.16)który po rozwiązaniu daje wartości współczynników funkcji kształtu.Równanie (6.16)można zapisać także w ogólnej postaci:é di1ùê úMai=di, gdziedi= êdi2ú,êdi3úë û(6.17)która po modyfikacji polegającej na zmianie indeksuinajlubk,pozwala wyznaczyćwspółczynniki funkcji kształtu następnych węzłów. W równaniu tymdij-oznacza deltęKroneckera.Rozwiążemy układ równań(6.16)metodą Cramera115 [ Pobierz całość w formacie PDF ]