Statystyczna ocena wyników pomiarów, Studia - Mechatronika, III semestr, Metrologia Techniczna i Systemy ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Statystyczna ocena wynikw pomiaru
1
STATYSTYCZNA OCENA WYNIKìW POMIARìW
.
CEL ĘWICZENIA
Celem ęwiczenia jest: uĻwiadomienie studentom, Ňe kaŇdy wynik pomiaru obarczony jest
bþħdem o nie zawsze znanej przyczynie i wartoĻci, zapoznanie ze statystycznĢ analizĢ
wynikw pomiarw, sposobami znajdowania i eliminacji wynikw obarczonych bþħdami
grubymi, ocenĢ skþadowej przypadkowej bþħdu, wskazanie na koniecznoĻę analizy warunkw
i wynikw pomiarw pod kĢtem obecnoĻci skþadowej systematycznej bþħdu.
PROGRAM ĘWICZENIA
1. Pomiary wymiarw liniowych trjkĢtw, a, b, c, h
a
, h
b
, h
c
.
h
c
[mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Numer studenta odpowiada numerowi pierwszego trjkĢta jaki mierzyþ student.
Ten pierwszy trjkĢt jest ájegoÑtrjkĢtem.
c. zmierzyę wymiary a, b, c, h
a
, h
b
, h
c
, swojego trjkĢta a wyniki zapisaę w tabeli w
wierszu odpowiadajĢcym numerowi trjkĢta.
d. wymieniaę z kolegami trjkĢty (ewentualnie rwnieŇ suwmiarki - patrz uwagi),
zmierzyę ich wymiary a wyniki wpisaę w odpowiednie wiersze tabeli.
a
[mm]
b
[mm]
c
[mm]
h
a
[mm]
h
b
[mm]
2. Przekazanie wynikw pomiarw
a. podzielię .tabelħ z wynikami pomiarw na wyniki pomiaru pojedynczych trjkĢtw,
1
a. zapoznaę siħ z obsþugĢ suwmiarki i przeprowadzię kilka pomiarw prbnych.
b. przygotowaę tabele pomiarowe,
Numer
studenta
Nr
TrjkĢta
Statystyczna ocena wynikw pomiaru
2
b. zebraę wyniki poszczeglnych trjkĢtw- przekazaę wyniki pomiaru kaŇdego trjkĢta
áwþaĻcicielomÑ trjkĢtw. (pierwszy mierzony przez studenta trjkĢt jest ájego trjkĢtem)
c. Przygotowaę tabelħ wynikw pomiaru wymiarw liniowych trjkĢta áswojegoÑ trjkĢta.
3. Przygotowanie tabel z wynikami poszczeglnych trjkĢtw
a. Tabela wynikw
pomiarw wymiarw liniowych trjkĢta nr..
Nr
studenta
a
[mm]
b
[mm]
c
[mm]
h
a
[mm]
h
b
[mm]
h
c
[mm]
1
2
.
.
18
X
s
P
H
[mm
2
]
1
2
.
.
18
X
s
P- powierzchnia trjkĢta; P
a
, P
b
, P
c
Î powierzchnia obliczona z odpowiedniej podstawy i
wysokoĻci, P
H
- powierzchnia obliczona z wzoru Herona.
P
a
[mm
2
]
P
b
[mm
2
]
P
c
[mm
2
]
Analiza i opracowanie wynikw pomiarw
KaŇdy student przeprowadza indywidualnĢ analizħ wynikw pomiarw swojego trjkĢta.
W ramach tej analizy naleŇy:
a) Zbadaę, czy sĢ pomiary obciĢŇone bþħdem grubym i przeprowadzię eliminacjħ lub
korektħ tych wynikw. W razie potrzeby wyznaczyę wartoĻci parametrw
statystycznych w skorygowanej serii pomiarw.
b) Przeprowadzię analizħ miar bþħdw przypadkowych (odchyleı standardowych s) w
wynikach pomiarw bokw i wysokoĻci. Porwnaę miħdzy sobĢ wartoĻci odchyleı
standardowych w grupie pomiarw bokw, w grupie pomiarw wysokoĻci oraz okreĻlię
relacje miħdzy wartoĻciami odchyleı standardowych s pomiarw bokw i wysokoĻci.
c) Porwnaę niepewnoĻę pomiaru wynikajĢcĢ z bþħdw przypadkowych pomiarw bokw
i wysokoĻci z bþħdem granicznym suwmiarki. Podaę ostateczne wyniki tych pomiarw z
uwzglħdnieniem przedziaþw niepewnoĻci.
d) Przeprowadzię analizħ wynikw obliczeı powierzchni pola badanego trjkĢta P za
pomocĢ rŇnych wzorw. Sprawdzię czy otrzymane wyniki nie sĢ sprzeczne. Ocenię,
2
X
- wartoĻę Ļrednia wynikw; s- odchylenie standardowe
b. Tabela wynikw pomiaru poĻredniego pola trj
kĢta nr
Nr
studenta
Statystyczna ocena wynikw pomiaru
3
czy sĢ wyniki obarczone bþħdami systematycznymi i jaka mogþa byę ich przyczyna.
e)
*
Wyznaczyę minimalnĢ liczbħ pomiarw poszczeglnych bokw i wysokoĻci, ktrĢ
naleŇaþoby wykonaę, aby bþĢd przypadkowy wyznaczenia Ļredniej arytmetycznej w
kaŇdym z tych pomiarw, byþ przynajmniej 10 razy mniejszy niŇ bþĢd graniczny
suwmiarki ( a wiħc pomijalnie maþy ).
f)*Wyznaczyę wartoĻci graniczne bezwzglħdnych i wzglħdnych bþħdw przypadkowych
pomiarw pola trjkĢta z rŇnych wzorw. Sprawdzię czy zachodzi prawo propagacji
bþħdw przypadkowych, Np. czy :
(d
p
P
a
)
2
= (d
p
a)
2
+ (d
p
h
a
)
2
?
WPROWADZENIE DO TEMATU
Pomiar jest czynnoĻciĢ doĻwiadczalnĢ, wykonywanĢ w celu wyznaczenia wartoĻci jakiejĻ
wielkoĻci. Do wykonania pomiaru potrzebne sĢ odpowiednie Ļrodki techniczne - narzħdzia
pomiarowe, i obserwator - czþowiek wykonujĢcy pomiary i analizujĢcy ich wyniki.
Po wykonaniu pomiaru dysponujemy zbiorem wartoĻci odczytanych z przyrzĢdw
pomiarowych. SĢ to surowe wyniki pomiarw. MogĢ byę one uporzĢdkowane i
zarejestrowane w postaci pliku danych, tabeli lub wykresu. Wynik pomiaru odczytany z
przyrzĢdu rŇni siħ prawie zawsze od wartoĻci prawdziwej ( rzeczywistej ) mierzonej
wielkoĻci, to jest tej ktrĢ ma ta wielkoĻę w chwili przeprowadzania pomiaru.
DokþadnoĻę pomiaru okreĻla bliskĢ zgodnoĻę wyniku pomiaru z wartoĻciĢ prawdziwĢ.
MiarĢ dokþadnoĻci jest bþĢd pomiaru, bħdĢcy rŇnicĢ miħdzy otrzymanym wynikiem a
wartoĻciĢ prawdziwĢ. WartoĻę prawdziwa jest pojħciem teoretycznym, idealnym . W
praktyce moŇemy siħ tylko przybliŇyę do jej wartoĻci za pomocĢ wartoĻci poprawnej,
okreĻlonej tak dokþadnie, Ňe moŇna na tej podstawie, z pewnĢ niepewnoĻciĢ, wyznaczyę bþĢd
pomiaru. NajczħĻciej jednak nie dysponujemy wartoĻciĢ poprawnĢ i bþħdu pomiaru nie
potrafimy okreĻlię jednoznacznie .
UmiejħtnoĻę przewidywania przyczyn i miejsc wystħpowania bþħdw pozwala ocenię
ich charakter, oszacowaę najwiħkszĢ moŇliwĢ wartoĻę dodatniĢ i ujemnĢ bþħdu, znaleŅę
wzajemne korelacje miħdzy bþħdami w pomiarach poĻrednich i zþoŇonych itd.
ńrdþami bþħdw i niepewnoĻci w pomiarach sĢ m.in.:
narzħdzia pomiarowe,
metoda pomiaru,
wpþywy zewnħtrzne,
obliczenia,
obserwator.
NieuchronnoĻę istnienia bþħdw w pomiarach i trudnoĻę z ich zidentyfikowaniem
powoduje niepewnoĻę wynikw pomiarw i rozrzut wartoĻci, ktre moŇna w uzasadniony
sposb przypisaę wielkoĻci mierzonej. Wynikiem pomiaru jest zatem zawsze para liczb
charakteryzujĢca przedziaþ wartoĻci w obrħbie ktrego znajduje siħ z maksymalnie duŇym
prawdopodobieıstwem wartoĻę prawdziwa mierzonej wielkoĻci.
Szacowanie przedziaþu niepewnoĻci otrzymanych wynikw pomiarw jak i szukanie metod
ograniczenia przyczyn i miejsc wystħpowania bþħdw jest w metrologii duŇĢ sztukĢ.
LosowoĻę zjawisk decydujĢcych w duŇym stopniu o wynikach pomiaru powoduje, Ňe
3
Statystyczna ocena wynikw pomiaru
4
do analizy bþħdw i oceny niepewnoĻci otrzymywanych wynikw wykorzystuje siħ modele i
metody rachunku prawdopodobieıstwa i statystyki matematycznej.
Przeprowadzenie serii pomiarw- czyli n-krotne powtrzenie pomiaru tej samej wielkoĻci ,
daje szansħ na wyznaczenie bþħdw o charakterze przypadkowym i nadmiernym. Zmiana
metody pomiaru pozwala na zauwaŇenie bþħdu systematycznego. Sposb doboru metod
pomiarowych i powtrzenia pomiaru musi byę wybrany Ļwiadomie, dajĢc szansħ na wykrycie
bþħdw jednej z wymienionych kategorii.
Bþħdy systematyczne w pomiarach tej samej wartoĻci pewnej wielkoĻci , w
niezmiennych warunkach, tym samym narzħdziem i metodĢ pomiarowĢ, przeprowadzonych
przez tego samego obserwatora pozostajĢ staþe. Wykrycie tych bþħdw jest moŇliwe przez
powtrzenie pomiarw po zmianie jednego z czynnikw wpþywajĢcych na wynik, np. innym
narzħdziem, w innej temperaturze, w innym miejscu, w przypadku pomiarw poĻrednich
przez skorzystanie z innej zaleŇnoĻci funkcyjnej miħdzy wynikiem a wielkoĻciami
mierzonymi bezpoĻrednio. ( w ęwiczeniu wyniki pomiaru pola trjkĢta moŇna okrħcię z
rŇnych wzorw i- z dþugoĻci podstawy i wysokoĻci lub tylko dþugoĻci bokw trjkĢta)tp.
BþĢd przypadkowy powoduje , Ňe wyniki kolejnych pomiarw zmieniajĢ siħ w
sposb losowy, mimo, Ňe mierzona jest ta sama wartoĻę wielkoĻci w warunkach praktycznie
niezmiennych. Wynikami pomiarw obarczonymi bþħdami przypadkowymi rzĢdzĢ prawa
statystyki i ich modelem matematycznym jest rozkþad normalny ( Gaussa).
Bþħdy nadmierne (grube, omyþki) powodujĢ wyraŅne odstħpstwo wyniku pomiaru w
serii od pozostaþych wynikw otrzymanych w praktycznie niezmiennych warunkach. Bardzo
czħsto ich bezpoĻrednim Ņrdþem jest wykonujĢcy pomiary czþowiek.
Opracowanie serii wynikw pomiarw x
i
( dla i = 1,2 ...... n ) i wnioskowanie o ich
niepewnoĻci rozpoczyna siħ od wyznaczenia podstawowych parametrw statystycznych danej
serii n-elementowej:
- wartoĻci Ļredniej arytmetycznej z n pomiarw:
1
=
n
X
=
x
i
n
i
1
- odchylenia standardowego ( odchylenia Ļredniokwadratowego ) wynikw pomiarw od
wartoĻci Ļredniej:
=
=
n
2
(
x
-
X
)
i
s
=
i
1
n
-
1
RŇnica miedzy wartoĻciĢ ĻredniĢ z wynikw pomiarw i wartoĻciĢ, ktrĢ moŇna uznaę
za poprawnĢ wyznacza bþĢd systematyczny popeþniany w kaŇdym z pomiarw w serii.
Modelem matematycznym bþħdw przypadkowych jest rozkþad normalny (Gaussa)
opisany funkcjĢ rozkþadu għstoĻci prawdopodobieıstwa f(x) zdarzeı losowych, ktrymi sĢ
kolejne wyniki pomiarw x :
1
Ä
(
x
-
m
)
2
Ô
f
(
x
)
=
exp
Å
-
Õ
s
2
p
2
s
2
Æ
Ö
4
i
Statystyczna ocena wynikw pomiaru
5
gdzie: m - wartoĻę oczekiwana E{x}
s - odchylenie standardowe .
Parametr s
2
nazywany jest wariancjĢ. Wariancja i odchylenie standardowe sĢ miarĢ
rozproszenia wartoĻci x wokþ wartoĻci oczekiwanej m, czyli tej najbardziej prawdopodobnej.
Z wþaĻciwoĻci funkcji għstoĻci prawdopodobieıstwa f(x) wynika okreĻlone
prawdopodobieıstwo nastħpujĢcych zdarzeı losowych ( wynikw pomiarw ):
P {m - 3 s x m + 3 s }= 0,997
P {m - 2 s x m + 2 s }= 0955
P {m - s x m + s } = 0,683
W tabelach rozkþadu normalnego moŇna znaleŅę wartoĻci wspþczynnikw k, okreĻlajĢcych
prawdopodobieıstwo zdarzenia, Ňe wartoĻę x m ks
.
Wyznaczona z serii pomiarw: wartoĻę Ļrednia X i odchylenie standardowe s sĢ
odpowiednio estymatorami (ocenami ) parametrw m(wartoĻci oczekiwanej) i s (odchylenia
standardowego) tego rozkþadu .
X powinno znaleŅę siħ 99,7 % wynikw pomiarw. Wniosek ten moŇna wykorzystaę
do eliminowania z serii wynikw, pomiarw obciĢŇonych bþħdem nadmiernym.
Korekta wy
n
ikw poprzez eliminacjħ wynikw podejrzanych wymaga przeliczenia
parametrw X i s dla skrconej serii.
OkreĻlajĢca przedziaþ niepewnoĻci wartoĻci 3s moŇe byę interpretowana jako wartoĻę
graniczna bþħdu przypadkowego. Prawdopodobieıstwo p, z jakim okreĻla siħ wartoĻę bþħdu
przypadkowego, moŇe byę mniejsze niŇ p=0,997. W wielu przypadkach wystarczajĢca jest
wartoĻę p=0,95 dajĢca bþĢd przypadkowy pojedynczego pomiaru D
p
x
i
= 2s .
WartoĻę Ļrednia wyznaczona z serii pomiarw jest tym bliŇsza wartoĻci oczekiwanej
im wiħksza jest liczba pomiarw n w serii. Odchylenie standardowe wartoĻci Ļredniej z n
wynikw o odchyleniu standardowym s zaleŇy od liczby n i jest rwne:
s
x
=
s
n
Tak wiħc bþĢd przypadkowy przypisany wyznaczonej z n pomiarw wartoĻci Ļredniej jest
mniejszy niŇ bþĢd przypadkowy pojedynczego pomiaru w serii i wynosi :
D
X
=
k
s
p
n
gdzie k jest odpowiednim wspþczynnikiem dla rozkþadu normalnego ( najczħĻciej przyjmuje
siħ k=2 lub k=3).
Parametry rozkþadu normalnego stosuje siħ do oceny wynikw pomiarw
powtrzonych co najmniej 30 razy. W seriach pomiarw mniej licznych korzysta siħ z
wþaĻciwoĻci rozkþadu t-Studenta. Wspþczynniki t tego rozkþadu sĢ stabelaryzowane jako
5
Oznacza to, Ňe po wykonaniu bardzo wielu wynikw pomiarw, w przedziale
w
artoĻci
s
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]