streszczenie - funkcje dwoch zmiennych wykład 1, Matematyka budownictwo, Matma egzaminy )

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Funkcjedw
ó
chzmiennych
Wyk“adnr16(In»ynieria–rodowiska)
•Pochodnecz¡stkowe
•Pochodnecz¡stkowewy»szychrzƒd
ó
w
•R
ó
»niczkazupe“nafunkcji
•Ekstremalokalnefunkcjidw
ó
chzmiennych
De
nicja1.(przestrze«eukildesowa)
Przestrzeni¡euklidesow¡p-wymiarow¡nazywamyzbi
ó
rwszystkichci¡g
ó
w
p-wyrazowych(a
1
,a
2
,...,a
n
),gdziea
i
2
R
ii=1,2,...n.
Uwaga1.Elementya
i
tychci¡g
ó
wnazywasiƒwsp
ó
“rzƒdnymi,asameci¡gi
-wektoramialbopunktamiprzestrzenieuklidesowejp-wymiarowej.
Uwaga2.Przestrze«euklidesow¡p-wymiarow¡bƒdziemyoznacza¢symbolem
R
2
mo»emyinterpretowa¢
geometryczniejakop“aszczyznƒ,elementytejp“aszczyznyA=(a
1
,a
2
)jako
punktyp“aszczyzny,dlakt
ó
rycha
1
oznaczaodciƒt¡,aa
2
rzƒdn¡punktuA.
Uwaga4.Przestrze«euklidesowatr
ó
jwymiarowa
R
jest(znan¡namzgeo-
metrii)przestrzeni¡,wkt
ó
rejliczbya
1
,a
2
,a
3
s¡wsp
ó
“rzƒdnymipunktuA=
(a
1
,a
2
,a
3
).
3
De
nicja2.(funkcjadw
ó
chzmiennych)
M
ó
wimy,»ewzbiorze
A
(zwanymdziedzin¡funkcji)zawartymwprzestrzeni
euklidesowej
R
2
z=f(x,y).
Przyk“ad1.Funkcjez=
1
x−y
,z=
p
x
2
−y
2
s¡przyk“adamifunkcji
dw
ó
chzmiennych.
De
nicja3.(pochodnacz¡stkowa)
Pochodn¡cz¡stkow¡rzƒdupierwszegofunkcjidw
ó
chzmiennychz=f(x,y)
wpunkcie(x
0
,y
0
)wzglƒdemzmiennejxnazywamygranicƒ(je»eliistnieje):
h
.
Pochodn¡cz¡stkow¡(rzƒdupierwszego)funkcjiz=f(x,y)wpunkcie(x
0
,y
0
)
wzglƒdemzmiennejyde
niujemyjakogranicƒ:
lim
h!
0
f(x
0
+h,y
0
)−f(x
0
,y
0
)
h
.
Uwaga5.Pochodnecz¡stkowefunkcjiz=f(x,y)wzglƒdemzmiennejx
oznaczamysymbolami
lim
h!
0
f(x
0
,y
0
+h)−f(x
0
,y
0
)
@x
,
@f(x,y)
@x
lub z
0
x
,f
0
x
(x,y),
1
p
,natomiastjejelementydu»ymiliterami,np.A=(a
1
,a
2
,...,a
p
).
Uwaga3.Przestrze«euklidesow¡dwuwymiarow¡
R
zosta“aokre–lonapewnafunkcjaf,je»elika»demupunktowi
P=(x,y)zezbioru
A
jestprzyporz¡dkowanadok“adniejednaliczbaz.
Przyporz¡dkowanietozapisujemywpostaci:
@z
 awzglƒdemzmiennejyodpowiednio
@y
,
@f(x,y)
@y
lub z
0
y
,f
0
y
(x,y).
Uwaga6.Wpraktycepochodn¡cz¡stkow¡wzglƒdemzmiennejxobliczamy
takjakzwyk“¡pochodn¡funkcjijednejzmiennejx,przyczymzmienn¡y
traktujemyjaksta“¡.Podobnie,obliczaj¡cpochodn¡cz¡stkow¡wzglƒdem
zmiennejy,zmienn¡xtraktujemyjaksta“¡.
De
nicja4.(funkcjaklasyC
1
)
Funkcjƒdw
ó
chzmiennych,maj¡c¡pochodnerzƒdupierwszegoci¡g“e,nazy-
wamyfunkcj¡klasyC
1
.

wiczenie1.Obliczpochodnecz¡stkowenastƒpuj¡cychfunkcji:
a)z=3x
2
y
2
−xcosy,
b)z=x
p
y
.

wiczenie2.Wykaza¢,»efunkcjaz=ln(e
x
+e
y
)spe“niar
ó
wnanier
ó
»niczkowe
@z
@y
=1.

wiczenie3.Wykaza¢,»efunkcjaz=e
x
y
2
spe“niar
ó
wnanier
ó
»niczkowe
@x
+y
@z
@y
=0.
De
nicja5.(r
ó
»niczkazupe“nafunkcji)
R
ó
»niczk¡zupe“n¡funkcjiz=f(x,y),klasyC
1
,wpunkcie(x
0
,y
0
)nazy-
wamyfunkcjƒliniow¡dfprzyrost
ó
w4x=x−x
0
i4y=y−y
0
okre–lon¡
wzorem:
df(4x,4y):=f
0
x
(x
0
,y
0
)4x+f
0
y
(x
0
,y
0
)4y.
Twierdzenie1.(zastosowanier
ó
»niczkidooblicze«przybli»onych)
Je»elifunkcjaz=f(x,y)jestklasyC
1
,to
f(x
0
+4x,y
0
+4y)f(x
0
,y
0
)+df(4x,4y).

wiczenie4.Obliczy¢przybli»onewarto–cipodanychwyra»e«:
a)(1.02)
3
.
01
2.02
.
2
@z
@x
+
@z
2x
@z
b)
p
(6.2)
2
+(8.1)
2
c)
8.04
De
nicja6.(pochodnacz¡stkowarzƒdudrugiego)
Pochodnymicz¡stkowymirzƒdudrugiegofunkcjiz=f(x,y)nazywamy
pochodnecz¡stkowepochodnychf
0
x
(x,y),f
0
y
(x,y).Wszystkichpochodnych
cz¡stkowychrzƒdudrugiegofunkcjiz=f(x,y)jestcztery,mianowicie:
f
00
xx
=
@
2
f
@x
2
=
@
@x
@f
@x
, f
00
xy
=
@
2
f
@x@y
=
@
@y
@f
@x
,
@f
@y
@f
@y
f
00
yx
=
@
2
f
@y@x
=
@
@x
, f
00
yy
=
@
2
f
@y
2
=
@
@y
,
przyczymzapis@x
2
jestskr
ó
temzapisu@x@x.
Uwaga7.Pochodnecz¡stkowef
00
xx
if
00
yy
nazywamypochodnymiczystymi,
natomiastpochodnef
00
xy
if
00
yx
nazywamypochodnymimieszanymi.
De
nicja7.(funkcjaklasyC
2
)
Funkcjƒdw
ó
chzmiennych,maj¡c¡ci¡g“epochodnecz¡stkowerzƒdudrugiego,
nazywamyfunkcj¡klasyC
2
.
Twierdzenie2.(Schwarzaopochodnychmieszanych)
Je»elifunkcjafjestklasyC
2
,topochodnemieszane,r
ó
»ni¡cesiƒtylkokolej-
no–ci¡r
ó
»niczkowania,s¡paramir
ó
wne.

wiczenie5.Obliczpochodnecz¡stkowerzƒdudrugiegofunkcjiz=ln(x
2
+
y).
Twierdzenie3.(warunekkoniecznyistnieniaekstremum)
Je»elifunkcjaz=f(x,y)klasyC
1
mawpunkcie(x
0
,y
0
)ekstremumlokalne,
to
f
0
x
(x
0
,y
0
)=0 i f
0
y
(x
0
,y
0
)=0.
>0,
tofunkcjaz=f(x,y)mawpunkcie(x
0
,y
0
)ekstremum,przyczymje»eli
f
00
xx
(x
0
,y
0
)f
00
xy
(x
0
,y
0
)
f
00
yx
(x
0
,y
0
)f
00
yy
(x
0
,y
0
)
2.W(x
0
,y
0
)=
f
00
xx
(x
0
,y
0
)>0,
tojesttominimumlokalne,je»eliza–
f
00
xx
(x
0
,y
0
)<0,
tojestmaksimumlokalne.
3
Twierdzenie4.(warunekwystarczaj¡cyistnieniaekstremum)
Je»elifunkcjaz=f(x,y)klasyC
2
spe“niawarunki:
1.f
0
x
(x
0
,y
0
)=0if
0
y
(x
0
,y
0
)=0,
Uwaga8.Je»eliW(x
0
,y
0
)<0,tofunkcjaz=f(x,y)niemaekstremumw
punkcie(x
0
,y
0
).Je»elinatomiastW(x
0
,y
0
)=0,towpewnychprzypadkach
funkcjamaekstremumwpunkcie(x
0
,y
0
)(np.funkcjaz=x
4
+y
4
wpunkcie
(0,0)),awinnychniema(np.funkcjaz=x
3
+y
2
wpunkcie(0,0)).

wiczenie6.Zada¢ekstremafunkcji
f(x,y)=3x
2
y−x
3
−y
4
.

wiczenie7.Okre–li¢wymiaryotwartegozbiornikaprostopad“o–ciennegoo
objƒto–ci32m
3
tak,abyjegopolepowierzchniby“ominimalne.
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]